Упражнение 1. 1. Взаимно непрерывно

1. Если гладкое отображение имеет координатное выражение (см.)

,

то вектор будет иметь координаты , то есть

.

Применив к обеим частям равенства отображение , получим

2. Если , , – гладкие вектор-функции, то

,

,

,

,

, .

Лемма 1.1. (о вектор-функции постоянной длины)

, .

_.

Определение 1.1. Отображение называется регулярным в , если . Говорят, что – регулярно, если оно регулярно в любой точке из .

Отображение называется непрерывным (гладким класса C^k или регулярным), если таковой является вектор-функция (см.). Соответственно и здесь все сводится к свойствам координатных функций.

§2. Определение кривой

Кривая, вообще говоря, есть термин из общеразговорного вокабуляра. Чаще всего этим термином обозначают фигуру в , которую можно представить как траекторию материальной точки в или как изогнутый промежуток, помещенный в . И то и другое представление математически описывается как образ отображения вида или, используя координатное выражение (для n = 3),

.

Выводя из рассмотрения некоторые особые случаи, зададим ограничения на отображение . Начнем с того, что потребуем от гладкости (это чтобы применять методы анализа).

Далее, будем считать, что

o – инъективное (биективное на образ) отображение (исключаем самопересечения);

o

так как точку пика нельзя «проехать» без остановки – нарушается условие регулярности);

‑ регулярное отображение (таким образом, мы выводим из рассмотрения фигуры вида

o ‑ взаимнонепрерывное отображение.

Смысл последнего ограничения следующий.

Для инъективного (биективного на образ) отображения обозначим символом точку, в которую мы попадаем при значении параметра , то есть . Аналогично, пусть – такое значение параметра , при котором мы получаем точку , т.е. .

Определение 2.1. Будем говорить, что инъективное отображение взаимно непрерывно, если любая точка обладает следующим свойством: для любой последовательности точек в , стремящейся к , последовательность стремится к , т.е. .

Определение 2.2. Если , где – непрерывное и взаимно непрерывное отображение, то называют гомеоморфным образом интервала , а само – гомеоморфным отображением (на образ) или гомеоморфизмом (на образ).

Фигуры вида

Упражнение 2.1.

не могут быть гомеоморфными образами интервала.

Определение 2.3. Фигура называется кривой, если для любой точки существует окрестность в и отображение такое, что:

1. гомеоморфный образ ,

2. – гладкое регулярное отображение

При этом пару будем называть параметризацией окрестности в

Таким образом, кривая – это фигура, как бы склеенная из деформированных без склеек и разрывов интервалов, на каждом таком интервале определена параметризация, причем параметр играет роль координаты.

Определение 2.4. Отображение называется диффеоморфизмом, если

o биективно (значит, существует обратное отображение ),

o и дифференцируемы,

Производная диффеоморфизма нигде не обращается в ноль и, следовательно, имеет постоянный знак, то есть диффеоморфизм – монотонная функция.

Теорема 2.1. Пусть ‑ параметризация окрестности , – диффеоморфизм интервала на . Тогда – есть также параметризация .

►Являясь композицией инъективных гладких отображений ‑ инъективное гладкое отображение. Далее, так как ρ – взаимнонепрерывно, а вместе с непрерывно, то

(здесь и ). Таким образом, ‑ взаимнонепрерывное отображение. Отображение является регулярным. В самом деле:

так как и при всех значениях параметра.◄

Теорема 2.1 говорит о том, как, зная одну из параметризаций окрестности на кривой, построить другие параметризации этой же окрестности. В следующей теореме утверждается, что так получаются все параметризации этой окрестности.

Теорема 2.2. Пусть и две параметризации одной и той же окрестности в . Тогда существует диффеоморфизм , такой что .

► условие единственным образом определяет точку . Другими словами, мы имеем отображение .

Так как

,

то – биекция и .

Для докажем гладкость отображения в точке , представив его в виде композиции гладких в некоторой окрестности точки отображений.

Обозначим , при этом, в силу регулярности, . Для координатных выражений:

=

не ограничивая общности, можно считать, что . Если , то (проекция на ось окрестности ).

По теореме об обратной функции окрестность точки в и окрестность точки в такие, что ‑ диффеоморфизм. Это означает, что отображение биективно и гладко вместе со своим обратным отображением .

Положим

,

Очевидно, отображение гладко как композиция гладких отображений. Кроме того

для ,

откуда, в силу инъективности отображения , следует равенство , а, следовательно, и гладкость .

Аналогично доказывается гладкость _.◄

Определение 2.5. Диффеоморфизм из теоремы 2.2 будем называть заменой параметра.

Эквивалентность регулярных вектор-функций.

Пусть , ‑ множество регулярных вектор-функций. Определим на отношение :

Упражнение 2.2. Отношение является отношением эквивалентности.

Упражнение 2.3. Эквивалентные вектор-функции имеют совпадающие годографы, однако из совпадения годографов не следует эквивалентность вектор-функций.

Для регулярной вектор-функции пару , где (см. лекцию 1), будем называть параметризованной кривой (не путать с параметризацией кривой). На множестве параметризованных кривых также определяется отношение эквивалентности : параметризованная кривая находится в отношении с параметризованной кривой , если существует диффеоморфизм такой, что .

Теорему 2.2 можно переформулировать следующим образом.

Теорема 2.2’. Любые две параметризации одной и той же окрестности на кривой эквивалентны.

§3. Натуральная параметризация

Теорема 3.1. Пусть параметризация окрестности на кривой . Существует параметризация окрестности , такая что .

► Предварительные рассуждения. Если бы это было так, то, дифференцируя равенство , где замена параметра, мы бы получили . Переходя к модулям (считая, не ограничивая общности, что ) ‑ и учитывая требование , мы получаем условие, которому должна была бы удовлетворять замена параметра: .

Перейдем непосредственно к доказательству. Определим

.

Являясь интегралом с переменным верхним пределом и положительным подынтегральным выражением, определенная на интервале функция ‑ монотонно возрастающая и дифференцируемая, и, следовательно, является диффеоморфизмом. При этом ‑ открытый интервал.

Положим .

Докажем, что пара ‑ искомая параметризация окрестности . В самом деле, , ‑ композиция гладких инъекций гладкая инъекция.

Пусть и . Тогда . Кроме того, в силу взаимной непрерывности . Так как ‑ непрерывно, то , что доказывает взаимную непрерывность .

Учитывая, что , получаем .◄

Определение 3.1. Параметризация окрестности на кривой такая, что , называется натуральной параметризацией (н-параметризацией).

Теорема 3.2. Пусть и ‑ две натуральные параметризации одной и той же окрестности на кривой . Тогда замена параметра имеет вид: , где . Наоборот: если ‑ натуральная параметризация и , где , то ‑ также натуральная параметризация.

►Докажем только первое утверждение.

, _. ◄

§4. Способы задания кривых

1.Параметрический.

, ‑ кривая задается как объединение окрестностей, каждая из которых параметризована.

2. Явный способ задания плоской кривой: график гладкой функции является кривой. В самом деле, пусть , где ‑ гладкая функция, определенная на интервале . График этой функции имеет вид: . Это не что иное, как годограф вектор-функции , , которая удовлетворяет всем свойствам параметризации. Здесь в качестве параметризованной окрестности выступает вся фигура . В такой ситуации говорят, что ‑ глобальная параметризация кривой .

Упражнение 4.1. Доказать, что окружность является кривой, которая не может быть глобально параметризована.

3. Неявный способ задания плоской кривой.

Пусть гладкое отображение, заданное в области , и .

Если , то, по теореме о неявной функции, существуют окрестности и точек и в и гладкое отображение такие, что (для ). Следовательно, состоит из точек , то есть является графиком функции . Таким образом, множество точек есть кривая.

4. Неявный способ задания кривой в пространстве.

Пусть , где и гладкие функции 3-х переменных, заданные в некоторой области .

Рассуждая, как и в предыдущем пункте, получаем, что фигура

есть кривая.

§5. Длина дуги кривой.

Пусть и точки из окрестности на кривой и ‑ параметризация .

Определение 5.1. Длиной дуги кривой называется число .

Если натуральная параметризация окрестности , то

‑

модуль изменения натурального параметра при движении из точки к точке совпадает с длиной дуги кривой между этими точками

Упражнение 5.1. Определение 5.1 корректно, то есть не зависит от выбора параметризации.

В дальнейшем будем считать, что ‑ связное множество (состоит из одного «куска»), то есть не может быть представлено в виде объединения двух непересекающихся открытых множеств. Это, в частности, означает, что можно задать как образ отрезка при некотором непрерывном отображении.

Из определения 2.3 следует, что для кривой существует семейство окрестностей , такое что

o параметризована,

o , то есть ‑ покрытие кривой .

Так как для произвольных точек и кривой дуга является компактным множеством, в можно выбрать ее (дуги) конечное подпокрытие : . Пусть ‑ параметризация , и для , причем и . Тогда длиной дуги будем называть сумму длин дуг, каждая из которых находится в параметризованной окрестности.

§6. Репер Френе.

Пусть параметризация окрестности кривой .

Определение 6.1. Говорят, что кривая бирегулярна в точке , если

Условие означает неколлинеарность векторов и , что эквивалентно условию: . Кривая называется бирегулярной если она бирегулярна в любой своей точке.

Упражнение 6.1. Определение 6.1 корректно, то есть не зависит от выбора параметризации.

Определение 6.2. Говорят, что кривая ориентируема, если существует ее покрытие такое, что

o ‑ параметризованная окрестность,

o при любых для окрестностей и имеем либо , либо для окрестности замена параметра имеет положительную производную.

Говорят, что кривая ориентирована, если такая параметризация кривой задана (выбрано такое покрытие параметризованными окрестностями, что все замены имеют положительную производную).