Свойства плоских кривых: огибающая

Пусть ‑ некоторый интервал и семейство плоских кривых, параметризованное параметром .

Определение 13.1. Кривая называется огибающей семейства , если она в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства, (мы будем рассматривать случай, когда она касается единственной кривой семейства) и каждой своей дугой касается бесконечного множества кривых семейства (порядок касания хотя бы 1).

Пример. Кривая является огибающей семейства своих касательных.

Теорема 2. Пусть семейство задается уравнением . Тогда огибающая , если она существует, задается уравнением:

Будем искать огибающую в виде: . Это означает, что при любом точка с координатами , есть точка касания огибающей с кривой семейства . тогда Тогда . Дифференцируя по последнее тождество, получаем: . При вектор с координатами

перпендикулярен, как вектор градиента, касательной к кривой в точке . Точка является точкой касания кривой и огибающей , значит у них в этой точке общие касательные, следовательно, вектор будет перпендикулярен и вектору . Так как ‑ произвольное значение параметра, то ,, вектор grad идет по нормали т.е. перпендикулярно касательной. , перпендикулярны к огибающей. Значит, скалярное произведение вектора, коллинеарного нормали, и вектора, касательного к кривой, – это есть (вектор коллинеарный нормали к кривой)*(касательный вектор). Значит .