Свойства плоских кривых: Эволюта

Определение 14.1. Эволютой кривой называется фигура, состоящая из центров кривизны этой кривой.

Из определения следует, что, если натуральная параметризация кривой , то уравнение эволюты имеет вид

Теорема 14.1. Пусть ‑ кривая, ‑ ее натуральная параметризация, причем для . Длина дуги эволюты между двумя точками равна модулю разности радиусов кривизны кривой в соответствующих точках кривой.

Найдем длину дуги эволюты между точками и . Для этого сначала подсчитаем вектор :

Тогда

_.

Следствие 14.1 Эволюта – есть огибающая семейства нормалей кривой .

Пусть , а . Будучи точкой эволюты, также лежит и на нормали к кривой в точке , то есть это общая точка эволюты и соответствующей нормали. При этом вектор , являющийся направляющим вектором касательной к кривой в точке , коллинеарен (главной) нормали к кривой в точке (см.), то есть эволюта касается нормали в точке .