Теоретична частина

Під випадковою подією в теорії ймовірностей розуміють будь який факт, який урезультаті досліду може відбутися або не відбутися. Щоб кількісно порівняти між собою події по ступені їх можливості, потрібно з кожною подією пов'язати число, яке тим більше, чим більш можлива подія. Це число називають імовірністю події. Імовірність події є кількісна міра об'єктивної можливості цієї події.

Достовірна подія - це подія, яка в результаті досліду обов’язково повинна відбутися, її ймовірність дорівнює одиниці.

Неможлива подія - це подія, яка в результаті досліду не може відбутися, її ймовірність дорівнює нулю.

Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досліду може набути те чи інше завчасно невідоме значення. У залежності від набору можливих значень розрізняють дискретні і неперервнівипадкові величини.

Розглянемо дискретну випадкову величину X з можливими значеннями . Нехай у результаті досліду виникає одна з повної групи n несумісних подій ,…, . Позначимо ймовірності цих подій . У зв'язку з тим, що несумісні події утворюють повну групу, то:

(1.1)

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями. Закони розподілу дозволяють досить просто визначати всі основні характеристичні та кількісні характеристики випадкових величин.

Найбільш поширеними законами розподілу є: нормальний, експоненційний, рівномірний, Релея та ін.

Найпростішою формою закону розподілу є ряд розподілу:

			…
			…

Графічне зображення ряду розподілу називають багатокутником розподілу, який зображений на мал.1.1.

Мал 1.1. Багатокутник розподілу

У даній формі закон розподілу існує тільки для дискретних випадкових величин. У зв'язку з тим, що для неперервної випадкової величини ймовірність події , де х - одне із можливих значень X, дорівнює нулеві, то утворити для неї ряд розподілу неможливо. Більш універсальною характеристикою випадкових величин є функція розподілу.

Вона існує для всіх випадкових величин: як безпервних, так і перервних. Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину з ймовірнісної точки зору, тобто є однією з форм закону розподілу.

Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися не ймовірністю події Х = х, а ймовірністю події Х < х, где х —деяка змінна. Ймовірність цієї події, залежить від х, є деякою функцією від х. Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини X та позначається, як F(x):

F(x) = P(X<x) (1.2)

Функцію розподілу F(x) іноді називають також інтегральної функцією розподілу або інтегральним законом розподілу.

Сформулюємо деякі загальні властивості функції розподілу.

1. Функцію розподілу F(x) є не спадною функцією свого аргументу, тобто при х₂ > х₁ F(х₂) ≥ F(x₁).

2. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю:

F (- ∞) = 0.

3. На плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці:

F (+ ∞) = 1.

Отже функція розподілу неперервної випадкової величини являє собою деяку неперервну не спадну функцію, зображену на мал. 1.2. Функція розподілу дискретної випадкової величини будується на основі впорядкованого ряду розподілу і являє собою розривну ступінчасту функцію, стрибки якої відбуваються в тих точках числової вісі ОХ, що відповідають значенням випадкової величини, і дорівнюють ймовірностям цих значень (мал. 1.3). Згідно з умовою (1.1) сума всіх стрибків дорівнює одиниці.

Рис. 1.2. Функція розподілу неперервної випадкової величини	Рис. 1.3. Функція розподілу дискретної випадкової величини

Далі розглянемо ще одну характеристику випадкової величини, а сааме щільність розподілу ймовірності. Щільність розподілу, так само як і функція розподілу, є одна з форм закону розподілу. На противагу функції розподілу ця форма не є універсальною: вона існує тільки для безперервних випадкових величин.

Похідна від функції розподілу називається щільністю розподілу ймовірності випадкової величини X (1.3). Застосовують також терміни «диференційна функція розподілу», або «диференційний закон розподілу». Графік функції f(x) називається кривою розподілу (рис 1.4).

(1.3)

Рис 1.4 Щільність розподілу імовірності неперервної випадкової величини

Ймовірність попадання випадкової величини на елементарну ділянку dx з точністю до безкінечно малих величин дорівнює f(x)dx і називається елементом ймовірності.

Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал від до до дорівнює сумі елементів імовірності на цій ділянці, тобто інтегралу

(1.4)

Рис. 1.5 Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал

Геометрично ймовірність відповідає площі під кривою f(x), що опирається на ділянку від до .