2015-07-14
4588
Пусть дана функция 
, 
- точка разрыва 1 рода функции ,
если в точке 
существуют конечные односторонние пределы функции справа и слева т.е. 
и 
, при этом:
- если
, то точка называется точкой устранимого разрыва 1 рода - если
, то точка называется точкой конечного разрыва (или неустранимого разрыва) 1 рода. Величину 
называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Пример 1: Возьмём 
. Все точки области определения 
этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку 
не входит в область определения функции 
, то 0 - точка разрыва функции . Мы можем доопределить эту функцию при , положив 
, тогда функция становится непрерывной в точке 0. Значит, - точка разрыва первого рода для функции.
Рис. Устранимый разрыв функции
Пример 2: Рассмотрим функцию 
. Её область определения состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка , в которой функция не определена, это точка разрыва функции. Поскольку 
при 
, то 
. Это означает, что при 
функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить 
.
Рис. Устранимый разрыв функции
Пример 3: Рассмотрим функцию 
, для которой 
Функция имеет разрывы при и при 
. Распишем модуль разности 
который может быть: 
и 
, решением первого неравенства будут 2 интервала 
, решением второго один интервал 
, таким образом 
в точках и функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке имеем: 
. Таким образом, предельные значения на краях разрыва существуют, но не совпадают; в точке : 
снова пределы слева и справа существуют, конечны, но не совпадают.
Рис. График функции , имеющей точки и неустранимого разрыва 1 рода, в которых функция делает скачки, величиной 
