Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)

Теорема 2: Пусть функции непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Теорема 3: Если функция непрерывна и строго монотонна на оси , то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси .

Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены.

Как известно, элементарной называется функция, которая получена путем применения конечного числа арифметических операций и суперпозиций к основным элементарнымфункциям. Поэтому из вышеприведенных теорем следует, что все элементарные функции, непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Задачи по теме:

1. Исследовать на непрерывность функцию:

Решение: На каждом из участков области определения функция является непрерывной , разрывность в данном случае может наблюдаться только в стыковочных точках, области определения, т.е. в точках, где функция меняет свое аналитическое выражение. Точки и обозначаем как подозрительные на разрыв. Исследовать на разрывность будем, используя аппарат односторонних производных. Найдем пределы справа и слева от точки предел слева , предел справа , откуда следует, что функция в данной точке имеет конечные односторонние пределы, значения которых совпадают. В такой ситуации может быть развитие в двух направлениях: 1) возможно функция непрерывна в данной точке, если значение и, следовательно, 2) или в данной точке функция просто не определена; и, следовательно, , тогда функция в , терпит разрыв 1 рода устранимый.

Посмотрев на выражение функции, делаем заключение, чтов точке функция не определена и, исходя из выше сказанного, имеет устранимый разрыв 1 рода. Доопределив функцию в этой точке, разрыв устраняется.

Исследуем точку . Найдем пределы справа и слева от точки . и , имеем предыдущую ситуацию, когда значение пределов равны, смотрим значение функции в данной точке: и следовательно, согласно второму определению непрерывности функции в точке, сформулированному выше, в данной точке функция непрерывна.

2. Исследовать на непрерывность функцию:

Решение: Обозначаем точки, подозрительные на разрыв: и , найдем односторонние пределы: и , оба предела конечны, но их значения не равны между собой, следовательно, функция терпит разрыв 1 рода, неустранимый, величина скачка , поскольку предел слева равен значению функции в данной точке, а именно: , то функция непрерывна слева. Аналогично находим для : и , следовательно, функция терпит разрыв 1 рода, неустранимый, величина скачка , в силу того, что функция в точке не определена, непрерывности нет ни слева, ни справа.

3. Исследовать на непрерывность функцию:

4. Исследовать на непрерывность функцию:

5. Исследовать на непрерывность функцию:

6. Исследовать на непрерывность функцию:

7. Исследовать на непрерывность функцию:

8. Исследовать на непрерывность функцию:

9. Исследовать на непрерывность функцию:

10. Исследовать на непрерывность функцию:

11. Исследовать на непрерывность функцию , используя 3 определение:

12. Исследовать на непрерывность функцию , используя 3 определение: