Условие независимости

В большей части теоретических положений данного раздела используется понятие независимости предпочтений для отдельных факторов или характерных признаков. Рассмотрим сначала простое условие независимости, а затем введем более сложные условия.

Предположим, что Х=Х₁ Х₂ … Х_n и отношение на множестве Х является слабым упорядочением. Зафиксируем некоторые уровни в множестве Х₂, X₃,..., Х_n и на основе отношения на Х определим условное слабое упорядочение на Х₁ следующим образом: x₁ y₁ тогда и только тогда, когда . Аналогично определяется условное слабое упорядочение на x₁ для других уровней в Х₂, Хз,...,X_n. Рассматриваемое условие независимости, в частности, гласит, что любые два условных слабых упорядочения на Х₁ совпадают. Более того, это справедливо для каждого Х_i, когда берутся различные комбинации фиксированных уровней в Х₁,…, X_i-1, X_i+1,…, Х_n. Вообще, условие независимости утверждает, что

тогда и только тогда, когда

для любого i из {1, 2,..., n} и все четыре набора из n элементов лежат в Х.

Определив простое условие независимости, можно опустить детали построения условий для набора из (n-1) элементов, поскольку условное упорядочение на Х_i не зависит от этого, и будем в дальнейшем использовать запись для обозначения слабых упорядочений, полученных по индукции для X₁, Х₂,…, Х_n.

Конечно, в некоторых случаях условие независимости может не выполняться, то есть, принципиальное значение имеет зависимость между факторами. Тем не менее, случай независимых факторов был изучен более подробно, хотя возможно, что на практике чаще встречаются ситуации, когда факторы взаимозависимы

Возможно, что полностью не скомпенсированная лексикографическая модель является простейшей моделью, в которой используется условие независимости и куда включены все упорядочения , полученные по индукции; в этой модели имеется упорядочение строгого доминирования факторов. Предположим, что Х₁ - самый важный фактор, Х₂ - следующий по важности фактор и т. д.; тогда в лексикографической модели отношение

(x₁, x₂,…,x_n) (y₁, y₂,…,y_n) тогда и только тогда, когда x_{1 1}y₁ или

(x₁~₁ y₁ и x₂ y₂) или (x₁~₁ y₁, x₂ ~₂ y₂и x₃ y₃) или... или (x_i~_i y_i для всех i<n,

а x_n y_n). Хотя для некоторых ситуаций нельзя провести лексикографический анализ, тем не менее, весьма вероятно, что больший практический интерес представляют ситуации, которые включают элементы компенсации факторов или «обмена» ими, поэтому именно такие модели будут описаны в следующих разделах. Сначала рассмотрим аддитивные функции полезности, поскольку они обладают интересными аналитическими свойствами.