Уравнение плоской бегущей волны

Задача: получить уравнение, позволяющее рассчитывать смещение любой точки упругой среды, в которой распространяется волновой процесс, в любой момент времени.

Пусть вдоль оси Oz распространяется плоская монохроматическая волна с частотой w: это значит, что вектор скорости волны v направлен вдоль OZ, а волновые фронты перпендикулярны этой оси.

Пусть смещения точек в плоскости z = 0 происходят по закону

где x₀ - амплитуда колебания точек в плоскости z =0;

t - время колебания точек плоскости z = 0.

Тогда зависимость смещения точек, имеющих координату z, будет зависеть от времени следующим образом:

где t- время запаздывания, то есть то время, которое потребовалось волновому процессу, чтобы распространиться на расстояние z. Очевидно, что время колебания точек с координатой z меньше времени колебания точек с координатой z = 0 на время запаздывания t.

Уравнение носит название уравнения плоской бегущей волны.

Обратите внимание – уравнение бегущей волны – это функция двух переменных – координаты z и времени t. Зафиксировав координату точки, вы получаете зависимость ее смещения от времени. Зафиксировав время, вы получаете картину мгновенного распределения смещений точек среды, в которой распространяется волна.

Чаще всего уравнение бегущей волны записывают иначе. Преобразуем наше уравнение

Отношение циклической частоты w к скорости волны v обозначили за k – волновое число:

Физический смысл волнового числа: волновое число показывает, как изменяется фаза волны при перемещении на 1 м вдоль направления распространения волны.

В связи с этим произведение kz в уравнении бегущей волны называют запаздыванием по фазе или набегом фазы.

Аналогичное уравнение можно записать для случая волн другой формы. Необходимо лишь учесть изменение амплитуды колебания точек по мере удаления от источника колебаний. Например,

для цилиндрической волны

где R – расстояние от прямой, являющейся источником волны;

для сферической волны

где r – расстояние до точки, являющейся источником колебаний.

Уравнение бегущей волны позволяет установить связь между скоростью, длиной волны и частотой. Смещения точек, находящихся на расстоянии в длину волны, одинаковые: