Достаточные условия экстремума функции

Теорема. Пусть непрерывна в некоторой окрестности точки Тогда, если при переходе через точку производная меняет знак, то функция в точке имеет экстремум. При этом, если меняет знак с минуса на плюс, то в точке минимум. Если меняет знак с плюса на минус, то в точке максимум.

Пример 42.1. Еще раз проанализируем рис. 37.1:

левее точки (-2,26) производная положительна (так как тангенс угла наклона касательной больше нуля). Правее от этой точки производная отрицательна. Иначе говоря, при переходе через точку (-2,26) производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому точка (-2,26) является точкой максимума. Что касается точки (1,-1), то при переходе через нее производна меняет знак с минуса на плюс. Поэтому точка (1,-1) является точкой минимума.

Пример 42.2. При переходе через точку (0,0) (см. рис. 41.1) производная не меняет знак (слева плюс и справа плюс). Поэтому (0,0) не является точкой экстремума.

Пример 42.3. На рис. 41.3 точка (0,0) является точкой минимума, т.к. слева производна отрицательна, а справа положительна.