Необходимые условия экстремума функции

12 13 14 15 16 17 18

Определение. Точка называется критической точкой (по первой производной), если производная или не существует.

Теорема 41.1. Только критические точки могут быть точками экстремума.

Теорема 41.2. Не все критические точки являются точками экстремума.

Пример 41.1. В примере 40.1 точки (-2,26) и

(1,-1) являются критическими точками, т.к. производная в них равна нулю. Эти точки также являются точками экстремума.

Рис. 41.1. Рис. 41.2. Рис. 41.3.

Пример 41.2. На рис. 41.1 дан график функции . Производная , . Поэтому точка (0,0) является критической точкой, но не является точкой экстремума (ибо она не является ни точкой максимума, ни точкой минимума).

Пример 41.3.На рис. 41.2 видим график . Производная ; (т.е. производная в нуле не существует). Точка (0,0) – критическая точка. Однако эта точка не является точкой экстремума, так как функция не определена с лева от нее.