2015-07-14
312
Теорема. Если на 
функция выпукла «вверх» («вниз») и дважды дифференцируема, то 
(
) для всех 
.
Рис. 44.1.
Пример 44.1. На промежутке 
функция 
выпукла вверх. Если точку касания А (см. рис. 44.1) будем передвигать слева направо, то касательная будет поворачиваться по часовой стрелке. Значит тангенс угла наклона касательной будет убывать. Т.е. первая производная будет убывать. Отсюда следует, что вторая производная неположительная (см. §36). Проверьте, что вторая производная в точке х=0 равняется нулю. Аналогично рассуждаем для промежутка 
.
