Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция , то есть такая, что ее можно представить в виде: , при этом . Переменную также называют промежуточным аргументом. Следующая теорема определяет правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция имеет в некоторой точке производную ,а функция имеет при соответствующем значении производную , то сложная функция в указанной точке имеет производную, которая равна , где вместо должно быть подставлено выражение .

Коротко это правило записывается так: , то есть производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по .

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому ниже приводится таблица производных для сложных функций, в которой аргумент заменен на промежуточный аргумент .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Пример. Вычислить производную функции .