Механический, физический и геометрический смысл производной

В задаче 1 про скорость прямолинейного движения было получено, что . Это равенство можно записать в виде , то есть скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной.

Физический смысл производной состоит в следующем. Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.

Рассмотрим также геометрический смысл производной. В задаче о касательной к кривой был найден угловой коэффициент касательной . Это равенство можно записать в виде , то есть производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания имеет координаты , то угловой коэффициент касательной есть . Например, если касательная к некоторой кривой имеет вид , то производная в точке касания равна 2.

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать уравнение касательной к графику функции в точке касания :

, где .

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент равен: . Поэтому уравнение нормали имеет вид:

, если

Вопрос. Уравнение касательной к графику некоторой функции в точке имеет вид . Найдите значение производной этой функции в точке .

Начало формы