Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим сложную функцию , где . Найдем производную этой функции по переменной .

.

Или .

Производная функции называется логарифмической производной функции . Логарифмическая производная применяется при вычислении производных показательно-степенных функций.

Определение. Показательно-степенной функцией называется функция вида , где и – функции от переменной .

Примеры показательно-степенных функций: , , .

Найдем производную показательно-степенной функции . Предварительно прологарифмируем правую и левую части уравнения.

.

(при этом использовали свойство логарифмов )

Дифференцируем обе части по переменной , при этом считаем функцию сложной функцией:

,

.

Выражаем и, учитывая, что , получаем формулу для вычисления производной показательно-степенной функции:

.

Пример. Вычислить производную показательно-степенной функции .