Теорема о корнях уравнения (теорема Ролля)

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и принимает на концах отрезка равные значения . Тогда существует по крайней мере одна точка на интервале , для которой .

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует хотя бы одна точка , в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.4).

Пример 1. Необходимо проверить, справедлива ли терема Ролля для функции на отрезке , и найти соответствующее значение .

Решение. Функция непрерывна на этом отрезке и дифференцируема на интервале . Кроме того, , поэтому теорема Ролля для данной функции на данном отрезке справедлива. Найдем значение , для которого , из уравнения , то есть . Поскольку найденная точка принадлежит интервалу , то - искомое значение. Касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси абсцисс (рис.5).

Пример 2. Проверить, справедлива ли теорема Ролля на отрезке для функций и .

Решение. Функция имеет точку разрыва в точке , принадлежащую заданному отрезку, поэтому на этом отрезке она не удовлетворяет теореме Ролля (рис.6).

Рассмотрим на этом же отрезке функцию . Эта функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка равные значения, но в точке она не дифференцируема, поэтому она не удовлетворяет теореме Ролля на заданном отрезке (рис.7).