Правило Лопиталя

Правило Лопиталя – это простой и весьма эффективный способ раскрытия неопределенностей, используемый для вычисления пределов функций.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида .

Теорема 1. Пусть функции и определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Пусть также , где в указанной окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула:

.

Пример 1. Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя: .

Решение. Функции и стремятся к нулю при , причем в окрестности точки . Применяя правило Лопиталя, получим:

Вторая теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида .

Теорема 2. Пусть функции определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой этой точки. Пусть и в окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

.

Если отношение в свою очередь опять представляет собой неопределенность вида или , то правило Лопиталя можно применять второй раз и т.д.

Пример 2. Найти предел, применяя правило Лопиталя: .