Индивидуальные задания

31. . 46. .

32. ctg 31^°. 47. lg 100,03.

33. sin 47^°. 48. .

34. . 49. .

35. . 50. sin 32^°.

36. . 51. tg 32^°.

37. sin 46^°. 52. .

38. . 53. .

39. . 54. cos 29^°.

40. . 55. .

41. tg 44^°. 56. .

42. . 57. .

43. cos 31^°. 58. ln (e+0,272).

44. lg 10,02. 59. (9,01)².

45. . 60. cos 46^°.

61- 90. Решить задачи

61. Издержки производства продукции объема х описываются функцией , а цена р единицы продукции зависит от количества товара и удовлетворяет равенству . Рассчитать наибольшую возможную прибыль Q, если .

62. Прямоугольный участок площадью 900 м² необходимо огородить забором, две смежные стороны которого каменные, а две другие – деревянные. Один метр деревянного забора стоит 10 у.е., а каменного – 25 у.е. На строительство выделено 2200 у.е. Хватит ли этой суммы? Какова должна быть наименьшая выделенная сумма?

63. Себестоимость единицы продукции Y (руб.) находится в зависимости от количества единиц выпущенной продукции х согласно следующему закону . Первое слагаемое (0,5) отражает постоянную часть себестоимости, второе отвечает постоянным издержкам, приведенным на единицу продукции, третье (0,2 х) учитывает часть издержек, размер которых на единицу продукции тем больше, чем больше выпуск продукции. Выяснить, какому объему выпускаемой продукции будет соответствовать минимальная себестоимость единицы продукции?

64. Цена р единицы продукции зависит от количества товара х и удовлетворяет равенству , а издержки производства продукции описываются зависимостью . Найти, при каких р и х прибыль Q от производства продукции будет наибольшей, если .

65. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

66. Пусть затраты на обеспечение плавания судна описываются функцией

,

где v – скорость судна в км/час. При какой скорости судно покроет любое расстояние с наименьшими затратами?

67. Издержки производства продукции объема х описываются функцией , а цена р единицы продукции зависит от ее количества и удовлетворяет равенству . Рассчитать наибольшую возможную прибыль Q и цену единицы товара при этой прибыли, если .

68. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м², огородить ее забором и разделить перегородками на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на постройку забора и перегородок пошло наименьшее количество материала?

69. Промышленное предприятие необходимо разместить у реки (прямая А₁В₁ на рис. 5). Сырьевая база предприятия находится в точке А, а пункт сбыта – в точке В. Даны расстояния: . Рассчитать, в какой точке у реки следует разместить предприятие, чтобы транспортные расходы были минимальны?

Рис. 5

70. Издержки производства продукции объема х задаются функцией . Производитель реализует продукцию по цене 25 денежных единиц. Найти максимальную прибыль и соответствующий объем продукции.

71. Определить, каковы должны быть размеры открытого бассейна с заданным объемом в 256 м³, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала при условии, что бассейн должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном.

72. На странице книги печатный текст должен занимать S см². Верхнее и нижнее поля должны быть по а см, правое и левое – по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то какими должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

73. На предприятии переменные издержки у в зависимости от месячного объема х тонн выпуска продукции изменяются по закону . При каком месячном объеме выпуска продукции переменные издержки минимальны?

74. Закрытый резервуар для перевозки жидкостей имеет форму цилиндра объемом V. Каковы должны быть размеры цилиндра (радиус r и высота h), чтобы стоимость материала, использованного для его изготовления, была минимальной?

75. Автомагистраль перпендикулярно пересекает железную дорогу и русло реки в точках А и В соответственно. Расстояние от железнодорожного вокзала до точки А составляет 5 километров, от речного порта до точки В – 3 километра. Рассчитать, как расположить гостиницу на участке АВ, чтобы затраты на строительство троллейбусной линии порт – гостиница – вокзал были минимальны, если известно, что участок дороги АВ составляет 4 километра.

76. Издержки производства некоторой продукции объема х описываются функцией . Определить объем производства, при котором средние издержки максимальны.

77. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь составила 800 м², а длина забора была наименьшая?

78. Объем продаж и цена некоторого товара связаны соотношением , где р – цена единицы товара, х – количество проданных единиц товара. Определить, при каком объеме продаж выручка от продажи товара будет наибольшей?

79. Фирма размещает на этаже здания магазин. Общая длина стен изображенного на плане этажа равна 90 м. При какой ширине х коридора площадь трех остальных помещений будет наибольшей?

80. Предположим, что издержки производства некоторого товара объема х характеризуются функцией . Определить, при каком объеме х производства товара прибыль Q будет максимальной, если цена товара изменяется по закону .

81. Завод производит ежемесячно 5000 единиц продукции, доставляемой двум потребителям. Цена реализации единицы продукции составляет 5000 рублей для потребителя. Расходы по доставке единицы продукции с завода соответственно к первому и второму потребителям составляют (0,4+0,001 х ₁) руб. и (0,5+0,002 х ₂) руб., где х ₁ и х ₂ – количество единиц продукции, перевозимых первому и второму потребителям соответственно. Определить оптимальное распределение продукции между потребителями, при котором завод получит максимальную прибыль.

82. Издержки производства х единиц однородной продукции выражаются формулой . Найти объем производства, при котором средние издержки будут минимальными.

83. На производстве используются два вида ресурсов в количествах х ₁ и х ₂ единиц. Причем так, что суммарный объем ресурсов первого и второго вида составляет 20 единиц. Определить оптимальный расход ресурсов, обеспечивающий предприятию достижение максимальной прибыли, если известно, что суммарная прибыль Z предприятия следующим образом зависит от расхода ресурсов: .

84. Объем продаж некоторого товара , а издержки описываются зависимостью . Найти цену р и количество единиц товара х, при которых прибыль Q будет максимальна.

85. Для производства некоторого продукта в количестве 1000 единиц в день могут быть использованы два станка различной производительности. Суммарные затраты на выпуск продукции за день составляют для первого станка и для второго - , где х ₁ и х ₂ – дневные производительности первого и второго станков соответственно. Определить производственную программу работы обоих станков, обеспечивающих дневную потребность в продукте при минимальных суммарных затратах.

86. В трудовом коллективе заработная плата каждого рабочего Q (рублей) и число х занятых в производстве рабочих связаны соотношением , где L и a – постоянные, характеризующие производственные возможности коллектива. Определить, при каком числе занятых заработная плата принимает наибольшее значение, если L = 1500; а = 16000.

87. На производство некоторого продукта расходуется два вида ресурсов. Цена единицы ресурса первого вида 3 ден. ед., второго – 4 ден. ед., а всего выделено на производство 1200 ден. ед. Известно, что из количества х ₁ единиц первого ресурса и х ₂ единиц второго ресурса можно получить единиц продукции. При каких значениях х ₁ и х ₂ объем продукции будет наибольшим?

88. Производитель реализует свою продукцию по цене р за единицу, а издержки при этом задаются кубической зависимостью . Найти оптимальный для производителя объем х выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

89. Предприятие располагает средствами в размере 3 млн руб. для закупки оборудования двух видов, причем цена одной единицы оборудования первого вида – 10 тыс. руб., второго – 2 тыс. руб. Производительность одной единицы оборудования за весь период эксплуатации (в рублях): первого вида -1 миллион рублей, второго вида – 2000+100 х ₂, где х ₂ – количество единиц оборудования второго вида. Сколько оборудования каждого вида следует закупить на имеющуюся сумму денег для получения наибольшего объема производства?

90. Функция полных издержек предприятия имеет вид , где х – объем производства. При каком месячном объеме производства средние издержки (y/x) минимальны?

91 - 100. Спрос на товар (Q) относительно цены (р) определяется функцией Q(р). Рассчитать эластичность функции спроса относительно цены и найти значение показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

91. Q(p) = е^-5р при р = 2 у.е.

92. Q(p) = при р = 12 у.е.

93. Q(p) = при р = 7 у.е.

94. Q(p) = при р = 2 у.е.

95. Q(p) = при р = 4 у.е.

96. Q(p) = при р = 3 у.е.

97. Q(p) = при р = 10 у.е.

98. Q(p) = при р = 25 у.е.

99. Q(p) = при р = 17 у.е.

100.Q(p) = при р = 21 у.е.

101-110. Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией S(p). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

101. S(p) = при р = 4

102. S(p) = при р = 8

103. S(p) = 2р – 1 при р = 4

104. S(p) = при р = 3

105. S(p) = р + 0,5 при р = 2

106. S(p) = 1 + при р = 3

107. S(p) = 2р² + 5р + 1 при р = 1

108. S(p) = при р = 1

109. S(p) = 8 + 0,5р при р = 2

110. S(p) = 3 - при р = 1

111-120. Пусть функция полных затрат имеет вид К(х), где х – объем производимой продукции. Рассчитать эластичность функции полных затрат и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

111. К(х) = 6 ln (1+3 х) при х = 30

112. К(х) = х ³ + 2 х ² + х при х = 20

113. К(х) = х ³ - 6 х ² + 15 х при х = 4

114. К(х) = ln (1+4 х)² при х = 25

115. К(х) = х ³ - 6 х ² + 20 х при х = 3

116. К(х) = х ² + 3 х + 5 при х = 5

117. К(х) = 1 + 4 при х = 1

118. К(х) = х ² - 2 х + 3 при х = 2

119. К(х) = при х = 5

120. К(х) = х ³ + 2 х при х = 2