Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Приведем основные формулы, которые используются в приближенных вычислениях с помощью дифференциала.

Если функция дифференцируема в точке х ₀, то её приращение , где - производная функции в точке х ₀, ∆ х – приращение аргумента, - бесконечно малая величина более высокого порядка чем ∆ х .

Отсюда следует приближенное равенство или .

Следовательно, справедливо приближенное равенство

. (2.1)

Данное равенство тем точнее, чем меньше ∆ х.

Пример 1. Вычислить приближенно Cos 91^°.

Решение

Рассмотрим функцию , найдем .

Согласно равенству (2.1), .

Учитывая, что , возьмем

и .

Тогда имеем конечный результат: .

Пример 2. Вычислить приближенно .

Решение

Рассмотрим функцию , найдем .

Согласно равенству (2.1), . За х ₀ возьмем е, за ∆ х – (-0,1), тогда

.

Пример 3. В результате наблюдений было установлено, что размер вклада клиента Сидорова в банке изменяется по закону , где х – время в месяцах. Найти приблизительно размер вклада через 3,008 месяца.

Решение

Воспользуемся приближенной формулой

,

где Т – вклад; х ₀ = 3; ∆ х = 0,008; ; .

Тогда размер вклада примерно равен:

.