Применение производной в вопросах существования корней уравнений

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:

Задача 1. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.

(1)

Решение: Область определения данного уравнения - промежуток определение на этом промежутке функцию , положив

Тогда, на

Þ ,

и таким образом функция - возрастающая, так что данное уравнение (1) не может иметь более одного решения.

Задача 2. При каких значениях имеет решения уравнение

(2)

Решение: область определения уравнения - отрезок , рассмотрим функцию , положив

Тогда на открытом промежутке

, так что - единственная критическая точка функции , являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку то примет наибольшее значение при , а наименьшее значение - при .

Так как функция непрерывна, то её область значений представляет собой отрезок , между её наименьшим и наибольшим значением. Другими словами, исходное уравнение (2) имеет решения при .