Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Лекция 10

Если в линейном однородном уравнении

(1)

все коэффициенты постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде , где — постоянная. Действительно, подставляя в уравнение (1) и , будем иметь . Сокращая на необращающийся в нуль множитель , получим так называемое характеристическое уравнение

. (2)

Это уравнение -й степени определяет те значения , при которых является решением исходного линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (1). Если все корни характеристического уравнения различны, то, тем самым, найдено линейно независимых решений уравнения (1). Следовательно, , где — произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения (1).

Пример 1. . Характеристическое уравнение имеет вид , его корни . Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример 2. . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение рассматриваемого уравнения .

Теорема. Если линейное однородное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение , то действительная часть этого решения и его мнимая часть в отдельности являются решениями того же однородного уравнения.

Доказательство. Дано . Надо доказать, что .

Пользуясь двумя свойствами линейного оператора, получим , откуда , так как комплексная функция действительной переменной обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю.

Мы применили два свойства оператора к комплексной функции действительной переменной, что, очевидно, допустимо, так как при доказательстве двух свойств были использованы лишь следующие свойства производных: , где — постоянная, и , остающиеся справедливыми и для комплексных функций действительной переменной.

Так как коэффициенты уравнения (1) предполагаются действительными, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами. Комплексные решения и , соответствующие паре комплексных сопряженных корней , могут быть заменены двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями одного из решений: или . Таким образом, паре комплексных сопряженных корней соответствуют два действительных решения: и .

Пример 3. . Характеристическое уравнение имеет вид , его корни . Общее решение .

Пример 4. . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение .

Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то число различных решений вида меньше и, следовательно, недостающие линейно независимые решения надо искать в ином виде.

Докажем, что если характеристическое уравнение имеет корень кратности , то решениями исходного уравнения будет не только , но и .

Предположим вначале, что характеристическое уравнение имеет корень кратности . Следовательно, левая часть характеристического уравнения (2) имеет в этом случае общий множитель , т.е. коэффициенты , и характеристическое уравнение имеет вид . Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение , очевидно, имеет частные решения , так как уравнение не содержит производных порядка ниже чем . Итак, кратному корню кратности соответствует линейно независимых решений .

Если характеристическое уравнение имеет корень кратности , то замена переменных

(3)

сводит задачу к уже рассмотренному случаю равного нулю кратного корня.

Действительно, линейное однородное преобразование неизвестной функции (3) сохраняет линейность и однородность уравнения. Постоянство коэффициентов при замене переменных (3) также сохраняется, так как , и после подстановки в уравнение (1) и сокращения на при остаются лишь постоянные коэффициенты.

Итак, преобразованное уравнение будет линейным однородным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами

, (4)

причем корни характеристического уравнения

. (2)

отличаются от корней характеристического уравнения для преобразованного уравнения (4)

(5)

на слагаемое , так как между решениями уравнения (1) и уравнения (4) должна быть зависимость или , откуда . Следовательно, корню уравнения (2) соответствует корень уравнения (5).

Как нетрудно проверить, при этом соответствии сохранится и кратность корня, т.е. корень будет иметь кратность .

Действительно, кратный корень уравнения (2) можно рассматривать как результат совпадения различных корней этого уравнения при изменении его коэффициентов, но тогда в силу зависимости совпадут с и корней уравнения (5).

Корню кратности соответствуют частные решения . Следовательно, в силу зависимости , корню кратности уравнения (2) будут соответствовать частных решений

. (6)

Можно показать, что решения

, (7)

где — число различных корней характеристического уравнения, линейно независимы.

Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид , где — произвольные постоянные.

Пример 5. . Характеристическое уравнение или имеет трехкратный корень . Следовательно, общее решение имеет вид .

Если характеристическое уравнение имеет кратный комплексный корень кратности , то соответствующие ему решения можно преобразовать по формулам Эйлера и, отделяя действительную и мнимую части, получить действительных решений:

(8)

Взяв действительные и мнимые части решений, соответствующих сопряженному корню характеристического уравнения, мы не получим новых линейно независимых решений. Таким образом, паре комплексных сопряженных корней кратности соответствуют линейно независимых действительных решений (8).