Решение

Найдем стационарные точки функции:

стационарная точка, z (0,0) = 0.

Для определения наибольшего и наименьшего значения функции на границе области найдем условный экстремум функции z = xy при условии x ² + y ² = 1.

Составим функцию Лагранжа:

Итак, найдены четыре стационарные точки:

При этом

Следовательно, наименьшее и наибольшее значения достигаются на границе области, а так как функция непрерывна, она принимает внутри области все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим, то есть множество ее значений в данной области –

Ответ: