Использование логарифмической производной

Выражение , являющееся производной по x от натурального логарифма данной функции , называется логарифмической производной. Применение логарифмической производной значительно упрощает дифференцирование в случаях, когда

1) сложная функция является показательно-степенной, т.е. у которой и основание и показатель степени являются функциями от x: .

2) функция представлена в виде произведения большого количества сомножителей.

Применение логарифмической производной состоит из следующих приёмов:

1. Необходимо прологарифмировать функцию :

2. Преобразовать правую часть записанного равенства, пользуясь свойствами логарифмов:

3. Продифференцировать полученное равенство, учитывая, что

4. Выразить из этого равенства искомое выражение y ´, учитывая, что

П р и м е р 4. Найти производные показательно-степенных функций:

а) б)

Решение.

а) Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получаем: Дифференцируя полученное равенство по x, будем иметь: Умножая на y и подставляя вместо y, получаем: .

б) Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получаем: или . Дифференцируем полученное равенство по переменной x:

Умножая на y и подставляя вместо y, получаем:

П р и м е р 5. Найти производную функции используя логарифмическую производную.

Решение.

Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получим: Дифференцируя полученное равенство по x, будем иметь:

Умножая на y и подставляя вместо y, получим: