2015-07-14
630
Выражение 
, являющееся производной по x от натурального логарифма данной функции 
, называется логарифмической производной. Применение логарифмической производной значительно упрощает дифференцирование в случаях, когда
1) сложная функция является показательно-степенной, т.е. у которой и основание и показатель степени являются функциями от x: 
.
2) функция представлена в виде произведения большого количества сомножителей.
Применение логарифмической производной состоит из следующих приёмов:
1. Необходимо прологарифмировать функцию : 
2. Преобразовать правую часть записанного равенства, пользуясь свойствами логарифмов: 
3. Продифференцировать полученное равенство, учитывая, что 
4. Выразить из этого равенства искомое выражение y ´, учитывая, что 
П р и м е р 4. Найти производные показательно-степенных функций:
а) 
б) 
Решение.
а) Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получаем: 
Дифференцируя полученное равенство по x, будем иметь: 
Умножая на y и подставляя 
вместо y, получаем: 
.
б) Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получаем: 
или 
. Дифференцируем полученное равенство по переменной x:
Умножая на y и подставляя 
вместо y, получаем:
П р и м е р 5. Найти производную функции 
используя логарифмическую производную.
Решение.
Логарифмируя функцию и используя свойства логарифмов, получим: 
Дифференцируя полученное равенство по x, будем иметь: 
Умножая на y и подставляя 
вместо y, получим:
