Неявная функция и её дифференцирование

Пусть значения двух переменных связаны между собой некоторым уравнением, которое символически может быть обозначено в виде:

. (7)

Если функция определённая в некотором промежутке, при подстановке в это уравнение, обращает его в тождество, то уравнение задаёт неявную функцию. Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют способ задания функции. Каждая явная функция может быть представлена как неявная в виде

Производную неявно заданной функции можно найти, продифференцировав уравнение (7) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно

П р и м е р 6. Найти производные функций, заданных неявно уравнениями:

а) б)

Решение.

а) Если y является функцией от x, то это равенство является тождеством. Дифференцируя обе части этого тождества по х, считая, что y является функцией, зависящей от х, и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции (правило 4), получим:

Преобразовывая полученное равенство, выразим производную y ´:

б) Продифференцируем обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, получим: Выразим производную y ´: