2015-07-14
2061
Пусть значения двух переменных связаны между собой некоторым уравнением, которое символически может быть обозначено в виде:
. (7)
Если функция 
определённая в некотором промежутке, при подстановке в это уравнение, обращает его в тождество, то уравнение задаёт неявную функцию. Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют способ задания функции. Каждая явная функция 
может быть представлена как неявная в виде 
Производную 
неявно заданной функции можно найти, продифференцировав уравнение (7) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно 
П р и м е р 6. Найти производные функций, заданных неявно уравнениями:
а) 
б) 
Решение.
а) Если y является функцией от x, то это равенство является тождеством. Дифференцируя обе части этого тождества по х, считая, что y является функцией, зависящей от х, и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции (правило 4), получим: 
Преобразовывая полученное равенство, выразим производную y ´: 
|
|
|
б) Продифференцируем обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, получим: 
Выразим производную y ´: 
