Производная сложной функции

Пусть и , тогда сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом х.

Если функция имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке х, которая находится по формуле:

(6)

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

П р и м ер 3. Найти производные сложных функций:

а) б) в) г)

Решение.

а) Функция является сложной, здесь и Другими словами, функция такова, что она является степенью Найдем производную степени (таблица производных): это показатель степени, умноженный на то, что в степень возводится, в степени на единицу меньше. Поскольку в степень возводится функция, зависящая от x, необходимо предыдущий результат умножить на производную sin x (формула 6). Таким образом, получим:

Итак,

б) Данная функция является сложной. Показатель степени у показательной функции это а аргументом тригонометрической функции является Применяя последовательно правило дифференцирования сложной функции (формула 6), получим: