Производная сложной функции

Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций. Возьмем, например, функцию , которая не является ни суммой, ни произведением, ни частным более простых элементарных функций, и поэтому правила предыдущего параграфа к ней неприменимы. При этом является сложной функцией: , , и ее производную можно найти с помощью правила дифференцирования сложной функции, которое читается так.

Если функция имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке x, причем .

Опуская аргумент и используя другое обозначение для производных, формулу можно переписать в виде .

Доказательство:

Придадим x приращение ∆x, оно вызовет приращение ∆u промежуточного аргумента u=φ(x),

которое в свою очередь повлечет изменение функции y на некоторую величину ∆y.

Для отыскания производной y′ нужно найти при∆x→0.

Представим отношение в виде

Тогда в силу правила предельного перехода в произведении получим:

(∆u→0 при ∆x→0, так как u=φ(x)- непрерывная функция).

Так как

то мы приходим к доказанной формуле.