Дифференцирование обратной функции

Пусть (1)

есть дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале (a,b).Если в уравнении (1) y рассматривать как аргумент,а x как функцию, то эта новая функция , где называется,как мы знаем, обратной по отношению к данной.Нашей задачей является: зная производную функции найти производную обратной ей функции предполагая,что обратная функция существует и непрерывна в соответствующем промежутке.

Теорема. Если для функции y=f(x)

существует обратная функция ,

которая в рассматриваемой точке имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке x функция имеет производную ,

равную , т.е. справедлива формула

Доказательство. Возьмем приращение ∆y,тогда

Так как есть функция монотонная, то ∆x .

Рассмотрим тождество

Так как при ∆x→0 и ∆y→0,то т.е.