Вектор-функція скалярного аргументу

Математичний аналіз оперує змінними. Основне поняття – поняття функції. Вектори теж будемо розглядати змінними.

Нагадаємо означення функції, відоме з курсу математичного аналізу.

Якщо кожному елементу x деякої непустої множини X за певним правилом або законом (позначають f, g тощо) ставиться у відповідність єдиний елемент y множини Y, то кажуть, що на множині X визначена функція, яку позначають, наприклад, або або .

Довільний елемент називають незалежною змінною або аргументом, множину X – областю визначення функції ,множину – областю значень функції f: .

Область визначення і область значень функції позначають також і відповідно.

В математичному аналізі, як правило, розглядаються функції, в яких x і y є елементами підмножини множини дійсних чисел . Такі функції називають числовими або скалярними.

З геометричної точки зору числова функція визначає відображення множини точок однієї прямої на деяку множину точок , взагалі кажучи, іншої прямої.

Вектор-функція одного аргументу – функція, в якій залежна змінна є вектором, а аргумент t приймає значення з множини дійсних чисел .

Функція називається вектор-функцією одного скалярного аргументу, якщо кожному значенню ставиться у відповідність вектор двовимірного або тривимірного евклідового простору.

Позначення: – область визначення , – область значень .

У загальному випадку зі зміною t змінюється вектор як за величиною, так і за напрямком. Але може бути вектор-функція сталого модуля (змінюється лише напрям, а модуль залишається незмінним) і вектор-функція сталого напряму (змінюється лише модуль).

Якщо в тривимірному евклідовому просторі вибрати прямокутну декартову систему координат з ортонормованим базисом то координати вектор-функції будуть скалярними функціями того самого аргументу t: Таким чином, задання вектор-функції рівносильне заданню трьох числових (скалярних) функцій , , .

Якщо вважати , , неперервними функціями та інтерпретувати аргумент t як час, то інтуїтивно зрозуміло, що кінець вектора , відкладеного від початку кординат, опише криву. Ця крива називається годографом вектор-функції .

Для вектор-функції вводяться поняття нескінченно малого вектора, границі, неперервності, похідної, інтеграла, аналогічні відповідним поняттям для скалярної функції.

Нескінченно малим називається вектор , модуль якого нескінченно малий

Нескінченно малі вектори мають властивості, аналогічні властивостям нескінченно малих скалярних величин:

□ Нехай , де – нескінченно малі вектори.

Відомо, що . ■

Для нескінченно малих векторів можна ввести поняття порядку малості (порівнюючи їх модулі).