Методика решения задачи параболической интерполяции

1. Из всей совокупности спаренных частичных отрезков, образующих сетку , по заданной величине выбрать два пересекающихся "окна" (предполагается, что принадлежит внутреннему отрезку ).

2. Для "окон" и вычислить значения коэффициентов Лагранжа: — для "окна" и — для "окна" . Путем суммирования проверить правильность полученных значений коэффициентов:

3. Используя значения коэффициентов Лагранжа, вычислить значения по формуле (4.14).

Если в расчетах не требуется высокая точность интерполирования, то можно ограничиться выбором одного "окна", например , и тогда . Для достижения повышенной точности интерполяцию провести для двух "окон" и результаты усреднить:

При этом порядок интерполяции повышается на единицу, т.е. аппроксимирует точное значение с четвертым порядком, поскольку погрешность составляет величину , где .

Замечание. Если или , то выбирается одно "окно" или соответственно.

Геометрическая интерпретация параболической интерполяции изображена на рис. 4.4. Параболе соответствует кривая , параболе — кривая . Точка соответствует значению , точка — значению точка — значению .

Приведем оценки погрешностей линейной и параболической интерполяции. Вначале предположим, что сетка равномерная (это имеет значение только для параболической интерполяции). Формулы (4.13), (4.14) и оценки (4.22), записанные для "окон" интерполяции, упрощаются, если ввести в рассмотрение новую переменную — фазу интерполяции и

Здесь учтено, что . Очевидно, что для величина изменяется в диапазоне , а для — в диапазоне . Для получения мажорант в оценке (4.22) необходимо найти и . Преобразуя зависимости и к новой переменной , получаем и находим максимумы:

Таким образом, реализуются следующие оценки погрешностей линейной и параболической интерполяции, справедливых для соответствующих "окон":

где. При этом предполагается, что принадлежит классам функций соответственно для линейной и параболической интерполяции. Таким образом, из оценок (4.23), (4.24) следует, что линейная интерполяция обеспечивает на частичном отрезке второй порядок аппроксимации или погрешности по , а параболическая (без осреднения) на двойном отрезке — третий порядок. Данные пофешности, как отмечалось во введении и предыдущих разделах, сокращенно записываются как и . При реализации алгоритма с осреднением порядок параболической интерполяции становится равным .