Квадратурная формула трапеций

Пусть снова взято разбиение отрезка на части , . Приближённо заменим площадь под графиком , лежащую над промежутком разбиения , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть и (см. рис.).

Рис.5.5.

Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,

Суммируя все площади , получаем квадратурную формулу трапеций:

Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через .

Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции достаточно вычислить значение функции лишь в одной новой точке -- в правом конце очередного промежутка , поскольку точка была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.

Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины , то формула трапеций приобретает вид

Все значения функции , кроме и , встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде

где , .

Пусть функция имеет вторую производную , сохраняющую знак на интервале . Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки этой квадратурной формулы таков: если , то есть если график является выпуклым кверху, то и, значит, ; если же и график имеет выпуклость книзу, то и .

Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок и противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки и в зависимости от выбора шага . Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.

Метод Монте-Карло для вычисления одномерных интегралов обычно не применяется, так как для получения высокой точности более удобны квадратурные формулы. Этот метод оказывается более эффективным при вычислении кратных интегралов, когда кубатурные формулы для достижения малой погрешности слишком громоздки и требуют большого объема вычислений.

При использовании квадратурных или кубатурных формул, число операций быстро возрастает с ростом размерности интеграла. Например, если для вычисления одномерного интеграла методом трапеций с заданной точностью необходимо вычислить сумму порядка N слагаемых, то для вычисления двойного интеграла тем же методом необходимо сложить порядка N ² слагаемых, а для тройного интеграла число слагаемых составляет порядка N ³.

Число испытаний N, требующихся для достижения заданной точности ε приближенного значения, в методе Монте-Карло есть величина порядка и не зависит от размерности интеграла.

Применяется следующий критерий выбора между кубатурной формулой р -го порядка точности и методом Монте-Карло для вычисления с точностью ε кратного интеграла функции m переменных:

1) если число измерений m < 2 р, лучше использовать кубатурные или квадратурные формулы;

2) если m > 2 р – метод Монте-Карло.

Например, если р = 1, тройные интегралы выгоднее вычислять методом Монте-Карло, а одномерные – квадратурными формулами.

Если р = 2, лучше вычислять методом Монте-Карло пятимерные интегралы, а одномерные, двойные и тройные – квадратурными или кубатурными формулами.

Рассмотрим конкретные формулы метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов, получающиеся способом, который применялся для вывода формулы (9.7).

Пусть требуется вычислить двойной интеграл

. (9.9)

Проведем серию из N испытаний случайной точки (x_i, y_i), где x_i равномерно распределены на отрезке [ a, b ], a y_i равномерно распределены на отрезке [ с, d ]. Вычислим интеграл (9.9) по формуле