Теплопроводность через плоскую стенку

Изменение температурного поля в неподвижной сплошной среде может быть описано с помощью дифференциального уравнения, полученного из уравнения энергии:

, (1.5)

где - коэффициент температуропроводности.

Рассмотрим процесс теплопроводности через плоскую стенку. На рисунке 1.1 показано сечение плоской стенки и распределение температуры в ней.

Предположим, что длина стенки намного больше её толщины - . Тогда при постоянных значениях температуры поверхностей стенки, то есть при значениях и температурное поле в стенке будет одномерным. В этом случае температура в любой точке внутри стенки будет функцией только одной переменной - . Тогда производные по другим переменным будут равны нулю:

.

В этом случае уравнение (1.5) примет вид:

.

Проинтегрировав дважды это уравнение, получим:

. (1.6)

Видно, что температура в стенке (при ) изменяется линейно.

Две константы интегрирования в (1.6) определим, используя граничные условия первого рода:

(1.7)

Подставив во второе уравнение (1.6) значения (1.7), найдём:

.

Заменив во втором уравнении (1.6) константы интегрирования найденными их значениями, получим распределение температуры внутри плоской стенки:

. (1.8)

Плотность теплового потока найдём по формуле (1.1):

. (1.9)

Отношение называется тепловой проводимостью плоской стенки, а обратная ей величина - внутренним термическим сопротивлением плоской стенки.