Теплопроводность через цилиндрическую стенку

На рисунке 1.4 изображено осевое сечение цилиндрической стенки.

Пусть на границах цилиндрической стенки заданы граничные условия первого рода:

(1.14)

При длине стенки тепловой поток имеет радиальное направление, а температурное поле одномерное, то есть .

Для стационарной одномерной задачи о теплопроводности цилиндрической стенки без внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение (1.5) в цилиндрической системе координат при постоянном коэффициенте теплопроводности () можно привести к виду:

. (1.15)

Введя новую переменную , преобразуем уравнение (1.15):

После разделения переменных и интегрирования полученного уравнения получим:

. (1.16)

Потенциируя уравнение (1.16), найдём . Возвращаясь к перевоначальным переменным, запишем:

Интегрируя последнее уравнение, получим общее решение, описывающее распределение температуры в цилиндрической стенке:

. (1.17)

Искривление линии температуроно поля в цилиндрической стенке обусловлено изменением плотности теплового потока, равного , при изменении радиуса цилиндра. При увеличении радиуса r величина площади , где - длина стенки, также увеличивается. Поэтому при большей величине радиуса температурная линия проходит положе и, наоборот, при малых величинах радиуса – более круто. Это правило сохраняется также при обратном направлении теплового потока (см. пунктир на рисунке 1.4).

Определим две константы интегрирования, входящие в полученное общее решение (1.17). Для этого воспользуемя двумя граничными условиями первого рода (1.14). В результате найдём:

(1.18)

Преобразуем общее решение (1.17), подставив в него значения констант интегрирования (1.18):

, (1.19)

где - внутренний, наружный и текущий диаметры цилиндрической стенки.

Используя формулу (1.19), определим градиент температуры в стенке:

. (1.20)

Найдём тепловой поток через стенку по формуле Фурье:

. (1.21)

Поделив обе части формулы (1.21), определим тепловой поток, приходящийся на единицу длины цилиндрической стенки:

. (1.22)

Величину называют внутренним термическим сопротивлением цилиндрической стенки.

Обозначим плотность теплового потока на внутренней и внешней поверхности стенки соответственно параметрами и . Так как при стационарном режиме поток теплоты через цилиндрическую стенку одинаков, то можно записать соотношение: