Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры

Решим уравнение:

4^х - 3·2^х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение:

2^2х - 3·2^х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2^х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

2^х = t

Тогда 2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t²

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

t² - 3t+2 = 0

Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:

t₁ = 2

t₂ = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁:

t₁ = 2 = 2^х

Стало быть,

2^х = 2

х₁ = 1

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:

t₂ = 1 = 2^х

2^х = 1

Гм... Слева 2^х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

1 = 2⁰

2^х = 2⁰

х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

х₁ = 1

х₂ = 0

Это ответ.

При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:

2^х = 7

Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?", только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:

x = log₂7

Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.

В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.

Начнём?

Решить показательные уравнения:

6^х = 216

8^х+1 = 0,125

Посложнее:

2^х+3 - 2^х+2 - 2^х = 48

9^х - 8·3^х = 9

2^х - 2^0,5х+1 - 8 = 0

Найти произведение корней:

2^3-х + 2^х = 9

Получилось?

Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):

7^0.13х + 13^0,7х+1 + 2^0,5х+1 = -3

Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)

2^5х-1 · 3^3х-1 · 5^2х-1 = 720^х

Пример попроще, для отдыха):

9·2^х - 4·3^х = 0

И на десерт. Найти сумму корней уравнения:

х·3^х - 9х + 7·3^х - 63 = 0

Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).

Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):

1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.

Всё удачно? Отлично.

Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)

Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...