Решение показательных неравенств

В школьном курсе алгебре и начала математического анализа в основном рассматриваются показательные неравенства вида afxagx, где a0a=1. При решении неравенств такого вида используется непосредственно монотонность показательной функции, учитывая область определения этой функции. Наиболее рациональное решение считается решение методом равносильных преобразований. Если в процессе решения смысл неравенства должен измениться, то символ меняется на символ . Например, −x0x0.

Равносильные преобразования показательных неравенств:

1. afxagx;0a1f(x)g(x).

2. afxagx;a1f(x)g(x).

Замечание. Если основание показательной функции содержит переменную величину, то первое равносильное преобразование это логарифмирование обеих частей неравенства по числовому основанию большего единицы и затем использование схем равносильных преобразований логарифмических неравенств.

hxfxhxgxlogahxfxlogahxgxlogahxfx−gx0a−1hx−1fx−gx0, О.Д.З.: hx0;a1.

Пример. Решите неравенство x−log2x+4116x.

Решение: Прологарифмируем обе части по основанию 2. Тогда проделав несколько равносильных преобразований неравенство примет вид log2x−log2x+4log2116x4−log2xlog2x−4+log2x.

Пусть log2x=t, где x0, тогда 4−tt−4+tt−4t+10t−;−14;+.

Вернемся к замене log2x−1;log2x4x0;05;x16;+ Ответ: 0;0516;+.