Уравнение Эйлера

Исследуем на экстремум функционал: для решения задачи Эйлера. Для начала найдем вариацию функционала по трем этапам (см. вопрос №5). Получим:

. Полученный функционал является линейным. Теперь применим условие экстремума (): - это основная лемма вариационного исчисления, т.е. если мы имеем некий функционал равный нулю при любом , то и . Нужно привести условие экстремума к виду этой леммы, т.е. при Преобразуем выражение (1) и получим:

Мы получили дифференциальное уравнение относительно Это уравнение Эйлера, которое позволяет решить задачу Эйлера. Интегральные кривые уравнения Эйлера называют экстремалями.