Б.3.2 Многомерный случай

Если надо проанализировать метеовеличину , где - одно-, двух- или трехмерная пространственная координата, то анализируемая величина может быть представлена разложением по базисным функциям:

.

Если есть К наблюдений величины то надо минимизировать следующую квадратичную форму:

,

где - веса, зависящие от ошибок наблюдений.

После приравнивания нулю производных по коэффициентам разложения, получается система уравнений для вычисления коэффициентов разложения

Количество коэффициентов разложения по базисным функциям, которые можно определить рассматриваемым методом, ограничивается количеством используемых наблюдений. Если есть измерений, то до коэффициентов разложения можно определить из данного выражения. Иными словами . Когда , нормальное уравнение называется полностью определенным. В этом случае, матрица является квадратной. Как правило, в большинстве случаев выполняется соотношение и нормальное уравнение является переопределенным, т.е. независимых измерений больше, чем количество коэффициентов, которые надо определить.

В случае полностью определенного уравнения получается следующее выражение для определения коэффициентов , т.е. коэффициенты разложения не зависят от ошибок измерений, т.е. весовой матрицы .

Таким образом, в случае полностью определенной задачи предполагается, что ошибки наблюдений равны нулю. Фактически, наблюдения имеют ошибки и полностью определенный случай может привести к серьезным проблемам.