Кінцеві й розділені різниці

Кінцеві й розділені різниці відіграють особливу роль у теорії інтерполяції. Вони використовуються як для формування нових інтерполяційних формул, так і для оцінки погрішності інтерполяції.

Нехай дана таблиця значень функції . Кінцевою різницею першого порядку в точцi x_i (позначається символом ), називається вираження

другого порядку, позначається , – вираження

k-го порядку, –

Так, наприклад, , ,

Розділеною різницею першого порядку в точках , , позначається , називається вираження

другого порядку в точках , , , позначається , – вираження

k-го порядку в точках , , , – вираження

Так, наприклад,

Одержимо деякі корисні для подальшого співвідношення, пов'язані з розділеними різницями.

Виразимо через значення функції у вузлових точках. Так, безпосередньо з визначення треба

і, після очевидних перетворень,

Продовжуючи, далі, по індукції, одержимо

Або, для скорочення запису, використовуючи функцію (2.3),

(2.5)

Зауваження. Якщо в

поміняти місцями значення

, то це приведе лише до перестановки відповідних доданкiв правої частини співвідношення (2.5). Отже, розділені різниці є симетричними функціями вузлових точок.

Так, наприклад

і т.д.

Одержимо тепер друге корисне співвідношення.

Виразимо через розділені різниці. Так, безпосередньо з визначення треба

Додаючи тепер до правої частини після очевидних перетворень одержимо

Міркуючи далі по індукції по m прийдемо до шуканого співвідношення

(2.6)

Якщо тепер змінити нумерацію точок і позначити через , через і т.д., то співвідношення (2.6) з урахуванням симетричності розподілених різниць приймає вид