Понятие функции нескольких переменных

Пусть каждой точке из множества D евклидова пространства по какому либо закону f ставится в соответствие определенное (единственное) число z из числового множества W. Тогда будем говорить, что на множестве D задана функция . При этом множества D и W называются, соответственно, областью определения и областью значений функции .

Пример Найти области определения и области значений заданных функций:

1) z , 2) z= , 3) z = ln (x ²+ y ² –1), 4) z .

Решение: 1) Данная формула имеет смысл, если х и у удовлетворяют неравенству: y –2 x ³0,или y ³2 x,следовательно D ={(x, y)| y³ 2 x }. Областью определения является верхняя полуплоскость, включая прямую y =2 x. Областью значений является промежуток: Е =[0,¥).

2) Формула имеет смысл при x + y– 1¹ 0или x + y ¹1. Следовательно D ={(x, y)| y + x ¹1}.Областью определения являются все точки плоскости (0 xy), не лежащие на прямой x + y =1.Областью значений является объединение промежутков: Е= (– ¥,0)È (0, + ¥).

3) Формула имеет смысл при х ²+ у ² – 1>0, или х ²+ у ²>1. Следовательно D ={(x, y)| y ²+ x ²>1}. Областью определения является плоскость(х 0 у), исключая замкнутый круг: х ²+ у ² = 1 единичного радиуса. Областью значений является промежуток: Е =(–¥,+¥).

4) Формула имеет смысл при 1– х ²– у ²³ 0, или х ²+ у ²£ 1. Функция определена на круге единичного радиуса D= {(x, y)| y ²+ x ²£ 1}. Областью значений является отрезок: Е =[0,1].