Геометрическая интерпретация частных производных

Как и для функции одной переменной, для функции двух переменных можно дать геометрическую интерпретацию производной в точке.

Рассмотрим произвольную точку А (х ₀, у ₀, z ₀) графика функции z = f (x, y) (рис.9). Проведем сечения графика плоскостями у=у ₀ и x=х ₀, параллельными координатным x 0 z и y 0 z. В сечениях получим кривые AM и AN. Проведем касательные AS и AT к этим кривым через точку А.

Частная производная функции z = f (x, y) в точке (х ₀, у₀) численно равна тангенсу угла наклона касательной AS: = t gb.

Частная производная в точке (х ₀, у ₀) численно равна тангенсу угла наклона касательной AT: =t ga.

Примеры Найти частные производные следующих функций:

1. z = x ²+ y. Частные производные: =2 x; = 1.

2. z = x ²sin y. Частные производные: =2 x sin y; = x ²cos y.

3. . Частные производные: =

.