Теоремы Чебышева, Бернулли и Пуассона

Теорема Чебышева:

Если свободный член X_1……X_n попарно независимы, имеют равномерно-ограниченные дисперсии P(X₁)=C…..P(X_n)=C и одинаковые вероятности M(X₁)=…=M(X_n), то среднее арифметическое данных величин сходятся по вероятности и их мат. ожидания. , где m_x=M(X₁)….M(X_n)

Доказательство:

1.Рассмотрим CВ Ч является средним арифметическим значением X= задан. CВ и найдём для неё мат.ожидание

2.Воспользуемся неравенством Чебышева.

=> прим. его для суммы СВ: ; имеем =˃используя свойства дисперсии получим:

; переходим в последнем неравенстве к пределу при n→∞: и т.д.

Обобщённая теория Чебышева:

Если попарно независимые и одинаково распределённые величины x₁…x₂, имеют ограниченные одним и тем же числом дисперсии D(x₁)=C,…,D(x_n)≤C и конечные не равные между собой математические ожидания H(x₁)≠…≠H(x_n), то среднее арифметическое данных CВ сходится на вероятности к среднему арифметическому их мат.ожидания:

Доказательство аналогично пред идущему.

Теорема Бернулли:

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторых событий А, если постоянная величина равна Р в каждом из n испытаний, то при достаточно большом числе испытаний, часто появления данного события сходится к вероятности его появления по условию сходимости по вероятности:

m- число появлений события А в n испатаниях.

23. Центральная предельная теорема теории вероятностей и ее следствие.

Если случайные величины Х1…..Xn взаимонезависимы и одинаково распределены с конечными мат. Ожиданиями и конечными дисперсиями, то имеет место придельное соотношение

Смысл теоремы:

Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимонезависимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то данная случайная величина Х имеет распределение близкое к нормальному.

Теорема Бернулли:

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого события А есть величина равная Р в каждом из n испытаний, то при достаточно большом числе испытаний частота появления данного события сходится к вероятности его появления по сходимости от вероятности:

>0=>P