Приводимые и неприводимые многочлены над P

В кольце целых чисел особую роль играют простые числа.

В теории многочленов аналогичную роль играют неприводимые многочлены.

Определение 1: p(x) над P называется неприводимым, если он имеет своими делителями делители вида c и cp(x) и других делителей не имеет.

Определение 2: над P называется приводимым, если кроме делителей c и cf(x) этот многочлен имеет другие делители , .

R: ,

не приводим.

C: кроме

приводимый.

Один и тот же многочлен над одним полем может оказаться неприводим, а над другим приводим.

ст. называется приводимым над P, если существуют многочлены над P, что имеет место равенство

ст. называется неприводимым над P, если в любом его представлении вида

(1)

один из многочленов будет иметь 0 степень, другой n.

Замечание: Многочлены 0-ой степени играют роль 1. То есть не являются ни приводимыми, ни неприводимыми. Всякий другой многочлен будет либо приводим, либо неприводим.

Свойства:

1. Многочлены 1-ой степени не приводимы над любым числовым полем.

Доказательство:

Дано:

Пусть

1 m k

1=m+k ó m=0, k=1 m=1, k=0

m≥0, k≥0

0-ой степени (число)

- 1-ой степени dx+l

ð неприводим.

2. Если неприводим над P, то тоже неприводим над этим полем.

Доказательство:

по свойству делимости имеют одинаковый делитель, а т.к. имеет делитель , те же.

Это свойство позволяет при рассмотрении многочленов приводимых и неприводимых в разложении многочленов на неприводимые множители брать со старшим коэффициентом 1.

3. Если неприводим над P, а любой , то возможны 2 случая:

1) ;

2)

Доказательство:

Рассмотрим над P.

НОД

, - непр. и .

- либо число, либо

.

4. Произведение двух или нескольких многочленов ó делится на неприводимый многочлен, когда хотя бы 1 из них этот многочлен.

ó .

Доказательство:

1. Достаточность следует из свойств делимости.

2. Необходимость для случая 2-х сомножителей:

Дано:

По предыдущей теореме .

Или по теореме о взаимно простых многочленах, то .

Для k-1 сомножителя верна.

Для k сомножителей.

Понятие приводимости многочленов является относительным. Это значит, что один и то же многочлен над одним полем может быть приводим, а над другим нет.