Теорема о разложении многочлена в произведении неприводимых над P множителей

9 10 11 12 13 14 15

Теорема:

Всякий , ст. , либо неприводим, либо представим в виде произведения неприводимых множителей:

– неприводимый многочлен, (1)

причем представление (1) однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и множителей нулевой степени.

1) Существование.

Доказательство: Доказательство существования такого представления проведем методом индукции.

I. над P неприводим (свойство 1), для многочлена 1-ой степени теорема верна.

II. Предположим, что для любого степени , теорема верна.

III. Докажем теорему для многочленов ст. k+1.

Многочлен k+1 степени не является числом, т.к. числами являются только многочлены 0 степени.

Если он неприводим, то теорема верна.

Если приводим:

ст.

по предположению эти многочлены удовлетворяют условию теоремы

IV. Т.к. А(1) верно и (А(m)) => А(k+1), то на основании принципа мат. индукции это утверждение справедливо для всех многочленов степени n≥1.

2) Единственность.

Разложение многочлена на неприводимые множители однозначно, если:

1) k=l

Метод мат. индукции:

I. разложение из одного сомножителя. Теорема верна.

II. Предположим для любого ст. , разложение однозначно с точностью до порядка следования и множителя 0-ой степени.

III. Докажем единственность разложения для многочленов k+1 степени.

k+1 степени.

Он разлагается на неприводимые множители по первой части теоремы. Пусть разлагается двумя способами:

Надо доказать, что .

Правая часть , т.к. левая делится, но это возможно, когда .

Разделим на .

Правая и левая части являются разложением многочлена на неприводимый множитель, степень которого ≤ k, а по предположению для таких многочленов теорема справедлива, т.е. разложение однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и множителя 0-ой степени, т.е.

ð Разложение однозначно.

IV. А(1) и А(m), () => А(k+1) => А(n) – истина, .

Замечание: В разложении многочлена множители могут повторяться несколько раз:

Если считать, что старший коэффициент у всех неприводимых многочленов 1, то неприводимый многочлен со старшим коэффициентом 1 называется нормированным.