2015-08-13
8087
с действительными коэффициентами
, (1)
.
По основной теореме алгебры этот многочлен имеет хотя бы один комплексный корень (R 
C). Этот корень может быть действительным.
Теорема о сопряженности комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами:
Если 
является корнем многочлена (1) с действительными коэффициентами, то число, сопряженное к 
является корнем .
Доказательство:
Так как 
– корень, то 
, 
. (2)
Из теории комплексных чисел
,
,
,
,
.
,
. (3)
, т.е. 
является корнем многочлена. Ч.т.д.
Покажем, что кратность корней и будет одинаковой.
Пусть - корень многочлена k -ой кратности, - корень многочлена -ой кратности.
.
Учитывая определение кратности
;
, 
.
Надо доказать, что 
.
1) Пусть 
, тогда 
;
.
,
.
Получили многочлен второй степени с действительными коэффициентами 
.
– многочлен с действительными коэффициентами, любая его степень будет многочленом с действительными коэффициентами.
.к. с действительными коэффициентами, ψ 
тоже с действительными коэффициентами.
Тогда частное 
= 
с действительными коэффициентами.
, 
=> является корнем этого многочлена.
.
.к. – корень, то тоже корень (по предыдущей теореме).
, но 
, т.к. 
и => получили противоречие.
Предположение, что не верно.
2) 
, то аналогично получили бы противоречие.
=> => кратности корней 
многочлена с действительными коэффициентами одинакова.
При этом говорят, комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены.
Разложение многочлена 
над полем действительных числе на неприводимые множители
с действительными коэффициентами.
Над полем C этот многочлен имеет n корней и разлагается на n линейных множителей.
, 
над C.
Некоторые могут быть действительными.
Пусть для определенности 
.
- комплексные корни.
, тогда по теореме о существовании сопряженного корня среди найдется число сопряженное 
.
.
Комплексных корней четное число и они попарно сопряжены
,
с действительными коэффициентами
.
. (*)
- многочлены второй степени с действительными коэффициентами, корни которых комплексно-сопряженные.
Все множители разложения (*) многочлены с действительными коэффициентами.
Всякий многочлен с действительными коэффициентами над R разлагается на произведение старшего коэффициента, линейных множителей вида 
, соответствующих действительным корням, и квадратных множителей вида 
, соответствующих парам комплексно-сопряженных корней.
Следствие: Неприводимыми многочленами над P являются многочлены 1 степени и 2-ой степени, у которых D<0.
Теорема: Все многочлены выше второй степени над полем действительных чисел приводимы.
Доказательство:
Пусть с действительными коэффициентами степени 
. По основной теореме алгебры существует корень α, если:
1) α – действительный корень, 
;
2) α - комплексный корень => у многочлена 
.
.
Все многочлены выше второй степени – приводимы. Ч.т.д.
