Если вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем C и R решается легко, то вопрос о приводимости и неприводимости многочленов над полем Q решается довольно сложно.
Существует несколько достаточных критериев приводимости и неприводимости многочленов и несколько необходимых. Мы рассмотрим наиболее важные.
Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то он приводим над Q .
Докажем критерий Эйзенштейна (достаточное условие того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводим над Q).
Многочлен с целыми коэффициентами
,
будет неприводим над Q, если существует простое число p, удовлетворяющее условиям:
1)
2)
3) .
Доказательство:
Пусть удовлетворяет всем условиям критерия и пусть он приводим => .
, где .
Тогда
Все коэффициенты, кроме делятся на p, когда , но , .
Пусть (если бы , то , а у нас , значит ).
, тогда , но => .
, тогда => .
На m-ом шаге получим . Поднимемся в первое равенство:
=> , а это против условия (1) критерия Эйзенштейна.
|
|
Значит многочлен неприводим.
Пример: Выяснить приводимость многочлена существует 3: .
0,3,-12,39,6 3. Значит многочлен неприводим над Q.
Из критерия Эйзенштейна следует, что над полем Q существует неприводимый многочлен сколь угодно большой степени. Докажем, что существует многочлен тысячной степени.
.
2 5;
0,…,0,5,10 .
10 25.
Значит многочлен неприводимый над полем Q.
Критерия Эйзенштейна является лишь достаточным условием, поэтому если хотя бы одно из условий критерия не выполняется, то о многочлене нельзя сказать приводимый он или неприводимый.