Многочлены над полем рациональных чисел

Многочлен вида

,

называется примитивным, если его коэффициенты взаимно простые числа

.

Например: - примитивный.

Теорема: Всякий многочлен с рациональными коэффициентами можно представить в виде произведения несократимой дроби на примитивный многочлен.

Доказательство:

, .

.

.

Найдется - общий знаменатель.

По свойству дробей все коэффициенты можно привести к общему знаменателю .

.

.

- примитивный многочлен.

Если – несократимая, то теорема доказана.

Если - сократимая, то , – примитивный.

. Ч.т.д.

Например: .

.

Лемма Гаусса: Произведение примитивных многочленов является примитивным.

Доказательство:

.

.

.

.

Предположим, что этот многочлен не примитивный. Тогда .

- простое число, на которое все коэффициенты делятся.

.

Т.к. многочлены являются примитивными, то все коэффициенты и первого, и второго многочлена делиться на p не могут.

Пусть .

.

.

по условию все слагаемые, кроме одного делятся на p. Тогда , отсюда или , а это противоречит выбору коэффициентов . Противоречие в результате неверного предположения. Значит . Значит многочлены – примитивные.