Сведение вопроса о приводимости многочленов над полем рациональных числе к вопросу о приводимости этих многочленов над кольцом целых чисел

Пусть многочлен с рациональными коэффициентами. Тогда его можно представить как , – примитивный, – несократимая дробь.

Если с целыми коэффициентами будет приводим над Z:

, с целыми коэффициентами, ст. , ст. ,

тогда , - приводим.

Пусть приводим над Q. Тогда покажем, что он приводим над кольцом Z.

Пусть с рациональными коэффициентами.

Тогда

.

Тогда .

По лемме Гаусса – примитивные его коэффициенты целого и взаимно простые, - примитивный с целыми и взаимно простыми коэффициентами.

Тогда .

Произведение примитивно умноженного на даст нам многочлен с целыми коэффициентами ó .

А значит .

Т.к. , то , .

Т.к. , то .

Получили .

Разложили , приводим над Z. Значит будет приводим над Q.

Вопрос о приводимости многочлена над Q сводится к вопросу о приводимости над Z.