Кольцо многочленов от n-переменных

Пусть P – произвольное числовое поле.

x ₁, x ₂, …, x _n – переменные.

Выражение вида (1), где называется одночленом от n переменных, a – коэффициент одночлена.

Конечная сумма одночленов от n переменных называется многочленом от n переменных.

Степенью одночлена (1) относительно всех переменных называется число равное сумме показателей ().

Каждый член многочлена имеет свою степень.

Степенью многочлена от n переменных относительно всех переменных называется наибольшая из степеней членов данного многочлена.

Множество всех многочленов от n переменных .

Теорема: Множество всех многочленов от n переменных над полем P является кольцом.

Введем операцию сложения.

. (1)

. (2)

Два одночлена называются подобными, если они различаются только числовым коэффициентом.

В записи (1) и (2) многочлена не должно быть подобных.

Суммой двух многочленов назовем новый многочлен, который получается при приписывании членам первого многочлена всех членов второго многочлена с теми же знаками.

Из определения суммы двух многочленов следует, что сложение многочленов коммутативно и ассоциативно.

Роль нуля при сложении многочленов играет нулевой многочлен .

Для любого многочлена существует ему противоположный.

По сложению многочлены образуют абелеву группу.

Произведением двух одночленов назовем выражение вида

Произведение двух многочленов от n переменных называется новый многочлен, который получается в результате последовательного перемножения всех членов первого на все члены второго многочлена и приведения подобных одночленов.

Нетрудно доказать, что умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения.

Мы доказали, что множество всех многочленов является кольцом (коммутативное, ассоциативное, 0-ой элемент, противоположный, умножение дистрибутивно).

Кольцо коммутативно-ассоциативное с 1.

– многочлен нулевой степени

.