Лексикографическое расположение членов многочлена

Замечание: Многочлены от одного переменного записывают либо по убывающим степеням переменного, либо по возрастающим степеням.

Расположение членов многочлена от n переменных аналогично расположению слов в словарях.

а б в г

(1)

(2)

…

Определение. Член (1) будет выше члена (2), если , что , , …, , .

Понятие «быть выше» является транзитивным, т.е. если первый выше второго, а второй выше третьего, то первый выше третьего.

Любые два члена многочлена можно сравнить по высоте.

Лемма о высшем члене произведения многочленов:

Высший член произведения двух многочленов равен произведению высших членов данных многочленов.

;

- высший член первого многочлена f.

– произведение членов многочленов f.

- высший член многочлена .

- произведение членов многочлена .

(1)

(2)

(3)

(4)

Сравним по высоте (1) и (2).

…

…

Сравним (1) и (3).

Т.к. - показатель высшего члена, - произведения

…

Первый член выше 3-го.

Сравним (3) и (4). … (4) ниже чем (3).

По свойству транзитивности (1) выше всех остальных. Ч.т.д.

Пример: Расположить многочлены в лексикографическом смысле и найти высший член произведения.

Высший член .