Формулы Виета и теорема Виета

Запишем уравнение n-ой степени.

Уравнением n-ой степени называется равенство , где - многочлен n-ой степени, если ставится задача найти такие значения переменной x, при которых это равенство обращается в верное, число c при этом называется корнем уравнения

. (1)

Корни уравнения это есть корни многочлена .

Мы знаем, что над полем C всякий многочлен n-ой степени имеет n корней.

.

Формулы Виета выражают связь между корнями уравнения (1) и его коэффициентами.

Возьмем многочлен со старшим коэффициентом (1) над полем C, он имеет n корней, считая их кратность.

.

Раскрывая скобки в правой части этого равенства мы получим:

.

Формулы Виета:

.

.

.

…

.

Если - корни многочлена со старшим коэффициентом 1, то сумма корней взятых по одному равняется вторым коэффициентом многочлена взятых с противоположным знаком. Сумма произведение корней взятых по два равна третьему коэффициенту, сумма произведение взятых по три равна четвертому коэффициенту, …, произведение всех корней равно свободному члену на .