Симметрические многочлены от n переменных

20 21 22 23 24 25 26

Среди многочленов от n переменных встречаются такие, которые не зависят от транспозиции(перестановк переменных.

-3

+ -3

Говорят, что переменные в эти многочлены входят симметричным образом, их называют симметрическими многочленами.

Многочлен называется симметрическим, если он не изменяется при любой транспозиции переменных.

Если симметрический многочлен входит слагаемым, то обязательно в этот многочлен войдут слагаемые , … и др.

- симметрический.

Пример: Дополнить многочлен до минимального симметрического.

– моногенный многочлен.

n=4:

n=3:

Среди симметрических многочленов существуют простейшие или элементарные многочлены.

n переменных:

…

n=3:

n=4:

Числа из поля P и 0-ой многочлен являются симметрическими.

Симметрические многочлены являются подмножеством кольца всех многочленов.

Сумма любых двух симметрических многочленов также является симметрическим многочленом; произведение любых двух симметрических многочленов тоже симметрический многочлен.

Во множестве симметрических многочленов выполнимы операции сложения и умножения.

Сложение коммутативно и ассоциативно; существует 0-ой многочлен; - тоже симметрический; умножение симметрических многочленов дистрибутивно относительно сложения, т.к. это выполняется для всех многочленов.

ð Симметрические многочлены образуют подкольцо кольца всех многочленов.

n=3:

Всякое выражение в виде многочлена от основных симметрических многочленов является симметрическим многочлен от , , .

Любой многочлен после подстановки вместо их выражают через обращается в симметрический многочлен.

Основная теорема о симметрических многочленах:

Всякий симметрический многочлен от n переменных представим в виде многочлена от основных симметрических многочленов с коэффициентами из того же поля P, что и данный многочлен.

Доказательство:

Пусть дан симметрический многочлен .

(*)

…

Найдем высший член симметрического многочлена .

Докажем вспомогательную лемму:

Показатели в высшем члене симметрического многочлена удовлетворяют цепочке .

Метод «от противного».

Пусть . Тогда т.к. многочлен симметрический, то на ряду со старшим членом (1) должен быть (2).

Член (2) будет выше члена (1), что противоречит выбору высшего члена (однозначно) => не верно =>

…

По высшему члену строим .

(2)

в неотрицательных степенях.

Если вместо подставим их выражения через (*) и выполнить все указанные действия, то получим симметрический многочлен, высший член которого будет равен высшему члену .