Теорема 1 (Коші)

Якщо функція та її частинна похідна визначені і неперервні в деякій області G площини Оху, то для будь-якої точки області G в околі цієї точки існує єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам .

2.1. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються

Означення 4. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються –церівняння,які в загальному вигляді завжди можна подати формулою: ,

(2.1)

де функції перед диференціалами dx та dy можуть бути розкладені на множники, кожний з яких залежний тільки від однієї змінної х або у.

Наприклад,

Функції перед dx та dy, розкладаються на множники, кожний з яких залежить тільки від однієї змінної:

Якщо диференціальне рівняння зведене до вигляду (2.1), подальше розділення змінних виконуємо переносом вправо доданку, який містить dx, та діленням рівняння на . Після чого маємо:

Після скорочення: .

Маємо в рівнянні ліву частину, залежну тільки від у, праву частину – тільки від х. Якщо рівні ліва та права частини рівняння, то їх інтеграли також рівні:

.